Mittwoch, 8. Dezember 2010

The Solution Morass

In dem auf dieser Website des Department of Aerospace Engineering Sciences der University of Colorado at Boulder veroeffntlichten Skript habe ich diese sehr gute Beschreibung des Problems, das sich aus Nichtlinearitaet ergibt, gefunden.

"The Solution Morass

In nonlinear analysis the two FEM interpretations (mathematical and physical) are not equal in importance. Nonlinear analysis demands a persistent attention to the underlying physics to avoid getting astray as the “real world” is covered by layer upon layer of mathematics and
numerics.
Why is concern for physics of paramount importance? A key component of finite element nonlinear analysis is the solution of the nonlinear algebraic systems of equations that arise upon discretization.
FACT is:

The numerical solution of nonlinear systems in “black box” mode is much more difficult than in the linear case.
The key difficulty is tied to the essentially obscure nature of general nonlinear systems, about which very little can be said in advance. And you can be sure that Murphy’s law
(If something can go wrong, it will go wrong.) works silently in the background.
One particularly vexing aspect of dealing with nonlinear systems is the solution morass. A determinate system of 1, 1000, or 1000000 linear equations has, under mild conditions, one and only one solution.
The computer effort to obtain this solution can be estimated fairly accurately if the sparseness (or denseness) of the coefficient matrix is known. Thus setting up linear equation solvers as “black-box” stand-alone functions or modules is a perfectly sensible
thing to do. By way of contrast, a system of 1000 cubic equations has 31000 ≈ 10300 solutions in the complex plane. This is much, much larger than the number of
atoms in the Universe, which is merely 1050 give or take a few. Suppose just several billions or millions of these are real solutions. Which solution(s) have physical meaning? And how do you compute those solutions without wasting time on the others?
This combinatorial difficulty is overcome by the concept of continuation, which engineers also call incremental analysis. Briefly speaking, we start the analysis from
an easily computable solution — for example, the linear solution — and then try to follow the behavior of the system as actions applied to it are changed by small steps called increments. The previous solution is used as a starting point for the iterative solution-search procedure."

Und:

"Rough nonlinearities are characterized by discontinuous field relations, usually involving inequality
constraints. Examples: flow-rule plasticity, contact, friction. The local response is nonsmooth. Solution techniques for these problems are in a less satisfactory state, and case-by-case consideration is called for. The local and overall responses are generally path-dependent,
an attribute that forces the past response history to be taken into account.
The key difficulty is that conventional solution procedures based on Taylor expansions or similar differential forms may fail, because such Taylor expansions need not exist!
An encompassing mathematical treatment is lacking, and consequently problem-dependent handling is presently the rule. For this class of problems incremental methods, as opposed to incremental-iterative methods, still dominate."

Kurz gesagt:

Wenn es zu pfadabhaengigen nichtlinearen Phaenomenen kommt, dann ist das Feinste vom Feinsten, was die Ingenieurwissenschaften bezueglich dessen, was mit modernsten Supercomputern handhabbar ist, heute zu bieten haben, keinen Pfifferling wert.
Und die Mainstream Oekonomen versuchen die Wirtschaft mit linearen Gleichgewichtsmodellen zu erklaeren!
Und die demokratisch gewaehlten Volksvertreter glauben diesen Idioten! Und wir alle unterwerfen uns einer primitiven Zinseszinsrechnung aus bloeder Gewohnheit!
Ich fasse es nicht. Und ich begreife auch nicht die Mathematiker und Physiker, die sich in den Dienst
eines solchen Unterfangens stellen. Weiterhin begreife ich auch nicht, wie Naturwissenschaftler und
Ingenieure, denen obiges aus der taeglichen Arbeit bewusst ist, Oekonomen und Politiker widerspruchslos
bei diesem haarstraeubenden Akt gewaehren lassen koennen. Manchmal frage ich mich schon,
bin ich verrueckt oder sind grosse Teile meiner Umgebung verrueckt? Denn der Punkt ist, wer die Vorstellungen, Modelle und Methoden die gluecklicherweise auf die 0,1% der Faelle passen in denen sie erfolgreich angewendet werden koennen auf die 99,9% der sich evolutionaer = pfadabhaengig nicht linear enstandenen Welt anwendet, ist zwangslaeufig zum Scheitern verurteilt.
Und da hilft ein tieferes Verstaendniss derjenigen Theorien, die die unpassenden Vorstellungen,
Modelle und Methoden auf die ueberwaeltigende Mehrheit der weltlichen Phaenomene anwendet, nur in sofern weiter, als das man erkennt, in welchen Wahnsinn sich die Menschheit in ihrer Arroganz verrannt hat. Das ist die Bedeutung der vierten Kraenkung von der Benvenuto spricht.
Das ist die Erkenntnis, der wir uns stellen muessen. Unsere Faehigkeiten erlauben zutreffende Vorstellungen,
Modelle und Methoden in 0,1% der Faelle. Nicht mehr!

Sapere Aude!
Georg Trappe

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