Sonntag, 30. September 2012

Ergodizitaet und multiplikative Prozesse


Wenn man sich von dem Irrtum verabschiedet, Wirtschaft sei ein durch und durch ergodisches System, dann ist es recht einfach ein Modell / eine Vorstellung zu entwickeln, welches Konzentrationsprozesse bei den Geld- und Realvermoegen, Firmen, Konzernen und Banken als eine der Kernursachen der Krise erkennbar werden laesst.
Fuer diejenigen, die sich von mathematischer Seite der Erklaerung der Krisenursachen naehern wollen, hier noch einige Hinweise, die dabei den Einstieg in die stochastische Perspektive erleichtern.




Vielen Dank an Lars Syll, der in einem Aufsatz im RWER Blog darauf aufmerksam gemacht hat.
Weiterhin moechte ich auf diese Aufsaetze von Limpert, Ohmayer und Stahel 
bzw. Limpert, Stahel und Abbt
hinweisen.

Sapere Aude!

Georg Trappe

Nachtrag 1.Oct.2012: Meiner Meinung nach muessen die stochastische Perspektive und die dynamische Perspektive parallel in Betracht gezogen werden, wenn man ein annaehernd vollstaendiges Bild erhalten will. Den dynamischen Betrachtungen, wie sie dankenswerterweise u.a. von Steve Keen voran getrieben werden, entgeht etwas wesentliches, wenn sie nicht durch eine stochastische Perspektive ergaenzt werden. Das liegt daran, dass die dynamischen Betrachtungen versuchen das System durch Zustandsgroessen zu beschreiben, die durch Aggregation oder Durchschnittsbildung entstehen. Dabei gehen dann evtl. dramatische und bedeutsame Veraenderungen in der Verteilung der Mikrozustaende verloren. Anders ausgedrueckt Boltzmann und Co. hatten ausgesprochenes Glueck, dass ihre Betrachtungen sich auf quasi ergodische Systeme bezogen. Denn nur aus diesem Grund konnte so die Bruecke zwischen Mikro und Makro geschlagen werden.

Kommentare:

  1. Herr Trappe,

    das Problem ist nicht so sehr, ob die Ergodität gegeben ist oder auch nicht. Das versteht auch kaum jemand.
    Das Problem der meisten Leute ist viel mehr, dass alle glauben, dass wir Richtung Erwartungswert im Laufe der Zeit ab einem gewissen Punkt praktisch monoton konvertieren werden. Dies sowohl als Gruppe als auch jeder Einzelne. Für Gruppen funktioniert dies ganz gut, umso mehr Teilnehmer umso besser konvertiert die Gruppe gegen den Erwartungswert pro Runde.
    Genauer gesagt glauben viele, dass nach „kurzen“ anfänglichen Schwankungen für alle Teilnehmer/Personen gilt: Ergebnis/Erwartungswert ~ 1 und bei Abweichungen im Einzelfall die Abweichung kontinuierlich abnimmt. Genau so wie es bei Erweiterungen von Gruppen funktioniert.
    Im Endeffekt glauben viele, dass der Erwartungswert ein anziehender Punkt für eine Gruppe und jedem Einzelnen ist.
    Die Astronomen würden sagen der Erwartungswert verhält sich wie ein schwarzes Loch.

    Herr Ole Peters zeigt, dass dies bei weitem nicht der Fall sein muss.
    Er bedient sich eines multiplikativen Modells, bei dem der Gewinn und Verlust ein fixer Prozentsatz ist.
    Nun neigen solche Modelle zu einer LogNormalverteilung, bei der der Median (Erwartungswert der meisten) viel kleiner sein kann als der Durchschnitt(=Erwartungswert).
    Dadurch erhält LogNormalverteilung ihre Dynamik. Sie erzeugt sehr viele Verlierer (Median) mit sehr wenigen Gewinnern („Ausreißer“/ „Fettaugen“).
    Ein LogNormalverteilung oder jede ähnliche Struktur braucht die „Fettaugen“, denn nur diese schaffen es den Durchschnitt der Gruppe wieder Richtung Erwartungswert zu heben. Das ganze Gebilde ist natürlich dadurch höchst instabil und wird mit jeder weiteren Runde instabiler. Es gibt daher weder für die Gruppe noch für jeden Einzelnen eine praktisch monotone Konvertierung Richtung Erwartungswert.
    Andererseits können nur solche Strukturen dauerhaft eine große Spreizung zwischen Arm und Reich erzeugen, denn es sind ja fast alle „arm“ und fast niemand „reich“.

    Bei rein additiven Modellen ergibt sich ein anderes Problem. Auch hier stiegt die Spreizung bei den Einzelnen an, jedoch bleiben Erwartungswert und Median für die Gruppe (solange sie groß genug ist) stets knapp beisammen. Es sind viele „arm“ und viele „reich“. Die Spreizung wächst auch bei solchen Modellen allerdings viel schwächer.
    Problematisch wird hier die Frage eines Bankrottes.
    Dies ist in den Modellen schwerer behandelbar und bedarf einiger Überlegungen. Sollten bankrotte Teilnehmer einfach ausscheiden, dann sinkt der Durchschnitt der Gruppe unter den Erwartungswert eher.
    Dies gilt für Modelle wo pro Runde ein Gewinn(+4/-3) zu erwarten ist, und ein Bankrott zumindest denkbar ist z.B.: ~ 1% der Fälle. Bei „fairen“ Spielen oder Verlustspielen wird das sicher noch einmal komplizierter.

    Man kann all diese Überlegungen in einfachen Tabellen erzeugen. Ich habe z.B.: OpenOffice verwendet. Herr Ole Peters scheinbar MatLab oder etwas ähnliches.

    Im Endeffekt lässt sich sagen, dass bei jedem Modell niemals alle gleichzeitig Richtung Erwartungswert konvertieren, bei multiplikativen Modellen noch nicht einmal die Mehrheit. Bei solchen oder ähnlichen Modellen bewegen wir uns vom Erwartungswert pro Person weg. Für die Mehrheit gilt wohl, dass wir uns Richtung Median bewegen, welcher natürlich unter dem Erwartungswert liegt.

    Mit freundlichen Grüßen
    Michael Buchinger

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    1. Vielen Dank fuer Ihre ergaenzenden/unterstuetzenden Kommentare. Eine Resonanz wie diese, freut mich natuerlich sehr, denn sie zeigt mir, dass es begruendete Hoffnung darauf gibt, dass eines Tages diese Sichtweise/Perspektive Fuss fassen wird und so dazu beitragen wird, den Irrsinn der die aktuelle Sicht- und Denkweise beherrscht, zu ueberwinden.

      Viele Gruesse
      Georg Trappe

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  2. Ja, die Ergänzung über die Wahrscheinlichkeitsverteilung war wichtig für mich. Denn im ersten Moment habe ich nicht ganz verstanden, was Ole Peters da gemacht hat, insbes. bei dem willkürlich herausgegriffenen Einzelfall, den er über die Zeit simuliert hat. Wenn man sich aber die Verteilungsfunktion ansieht, erfasst man die Problematik sehr schnell.



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    1. Wenn Sie das Ole Peters Beispiel (+50/-40%) in mein Spreizblatt anstelle der normal verteilten Renditen mit Mittelwert 5% und Streuung 0,2 einsetzen, also nur zufaellig Renditen von +50% und -40% zuordnen, dann werden Sie auch dann den stetig steigenden Theilindex beobachten. Es funktioniert auch mit gleichverteilten oder anders verteilten Renditen. Die Spreizung/Streuung der Renditen bestimmt die Rate, mit der der Theilindex = die Ungleichheit ansteigt. Dabei muss der Mittelwert, um den die Renditen streuen nicht positiv sein. Er kann auch Null oder negativ sein.
      Ole Peters Beispiel ist da sehr verkuerzt und hebt eigentlich nur auf den Hinweis ab, das Scharmittel nicht immer gleich Zeitmittel ist und die Wahrscheinlichkeiten ueber eine Gruppe betrachtet nicht unbedingt etwas mit dem Verlauf von Einzelschiksalen zu tun hat (siehe auch Homo Faber von Max Frisch).

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